LINEST функциясы

Бұл мақалада Microsoft Excel бағдарламасындағы формула синтаксисі мен LINEST функциясының қолданысы сипатталады. Диаграмма жасау және регрессиялық талдау жасау туралы қосымша ақпарат сілтемелерін Қосымша ақпарат бөлімінен іздеңіз.

Сипаттама

LINEST функциясы деректерге жақсы қиыстыратын түзу сызықты есептеу үшін "ең кіші квадраттар" әдісін пайдаланып, сызыққа арналған статистиканы есептеп, сызықты сипаттайтын жиымды береді. Сондай-ақ, белгісіз параметрлерде сызықтық болатын үлгілердің басқа түрлері үшін статистиканы есептеуге LINEST функциясын басқа функциялармен біріктіруге болады, соның ішінде көпмүшелі, логарифмдік, экспоненциалды және дәрежелік қатарлар болады. Бұл функция мәндер жиымын беретіндіктен, жиым өрнегі түрінде енгізілуге тиіс. Нұсқаулар осы мақаладағы мысалдардан кейін берілген.

Сызыққа арналған теңдеу:

y = mx + b

–немесе–

y = m1x1 + m2x2 +... + b

мұнда, тәуелді у мәндері – тәуелсіз х мәндерінің функциясы. m мәндері – әрбір х мәніне сәйкес келетін коэффициенттер және b – тұрақты мән. y, x және m вектор болуы мүмкін. LINEST функциясы қайтаратын жиым {mn,mn-1,...,m1,b}. LINEST функциясы қосымша регрессиялық статистикаларды бере алады.

Синтаксис

LINEST(белгілі_y_мәндері, [белгілі_х_мәндері], [тұрақты_мән], [статистика])

LINEST функция синтаксисінің төмендегідей аргументтері бар:

Синтаксис

  • белгілі_y_мәндері    Міндетті. y = mx + b қатынасындағы бұрыннан белгілі y мәндерінің жиыны.

    • Егер белгілі_y_мәндері ауқымы бір бағанда болса, белгілі_x_мәндері дәлелінің әрбір бағаны бөлек айнымалы ретінде түсіндіріледі.

    • Егер белгілі_у_мәндері ауқымы бір жолда болса, белгілі_x_мәндері дәлелінің әрбір жолы бөлек айнымалы ретінде түсіндіріледі.

  • белгілі_x_мәндері    Міндетті емес. y = mx + b қатынасындағы бұрыннан белгілі болуы мүмкін x мәндерінің жиыны.

    • белгілі_x_мәндері ауқымы айнымалылардың бір не бірнеше жиындарын қамтуы мүмкін. Егер бір ғана айнымалы пайдаланылса, өлшемдері тең болғандықтан, белгілі_у_мәндері және белгілі_x_мәндері дәлелінің мәндері кез келген кескіндегі ауқымдар болуы мүмкін. Егер бірден аса айнымалы пайдаланылса, белгілі_у_мәндері дәлелінің мәні вектор болуға тиісті (яғни, бір жолдың биіктігі немесе бір бағанның ені бар ауқым).

    • Егер белгілі_x_мәндері дәлелінің мәні есепке алынбаса, оның өлшемі белгілі_у_мәндері өлшемімен бірдей жиым {1,2,3,...} болып қабылданады.

  • тұрақты    Міндетті емес. b тұрақты мәнін 0 мәніне теңестіру керек-керек еместігін анықтайтын логикалық мән.

    • Егер тұрақты_мән дәлелі TRUE мәні болса немесе есепке алынбаса, b мәні әдеттегідей есептеледі.

    • Егер тұрақты_мән дәлелі FALSE мәні болса, b-мәні 0 мәнімен теңестіріледі, ал m мәндері y = m^x шартына қиыстырылуы үшін лайықталады.

  • статист    Міндетті емес. Қосымша регрессиялық статистиканың берілетін-берілмейтінін көрсететін логикалық мән.

    • Егер статистика дәлелінің мәні TRUE болса, LINEST функциясы қосымша регрессиялық статистиканы береді, нәтижесінде берілген жиым мынадай болады: {mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,se1,seb;r 2,sey; F,df;ssreg,ssresid}.

    • Егер статистика дәлелінің мәні FALSE болса немесе есепке алынбаса, LINEST функциясы тек қана m коэффициенттері мен b тұрақты мәнін береді.

      Қосымша регрессиялық статистика.

Статистика

Сипаттама

se1,se2,...,sen

m1,m2,...,mn коэффициенттері үшін стандартты қате мәндері.

seb

b тұрақты мәні үшін стандартты қате мәні (тұрақты_мән дәлелінің мәні FALSE болған жағдайда, seb = #N/A).

r2

Анықтама коэффициенті. Есептелетін әрі нақты у мәндерін және 0 мен 1 мәндері аралығында ауқымдарды салыстырады. Егер ол 1-ге тең болса, үлгіде толық корреляция болады — яғни есептелетін у мәні мен нақты у мәні арасында айырмашылық болмайды. Егер анықтама коэффициенті 0-ге тең болса, регрессия теңдеуі у мәнін болжау үшін жарамсыз болады. r2 мәнін есептеу туралы ақпарат алу үшін төменірек осы бөлімдегі "Ескертпелер," дегенді қараңыз.

sey

у есептеуі үшін стандартты қате.

F

F статистика немесе F бақыланатын мәні. F статистикасын тәуелді және тәуелсіз айнымалы шамалардың арасындағы бақыланатын байланыстың кездейсоқ не кездейсоқ емес түрде пайда болатынын анықтау үшін пайдаланылады.

df

Еркіндік дәрежелері. Статистикалық кестедегі F қауіпті мәндерін табу үшін еркіндік дәрежелері пайдаланылады. Үлгінің сенімділік деңгейін анықтау үшін кестеден табылған мәндерді LINEST функциясы берген F статистикасымен салыстырыңыз. df мәнін есептеу туралы мәліметтер алу үшін төменірек осы бөлімдегі "Ескертпелер," дегенді қараңыз. F және df мәндерін пайдалану 4-мысалда көрсетілген.

ssreg

Квадраттардың регрессиялық қосындысы.

ssresid

Квадраттардың қалдық қосындысы. ssreg және ssresid мәндерін есептеу туралы қосымша мәліметтер алу үшін төменірек осы бөлімдегі "Ескертпелер," қараңыз.

Келесі иллюстрацияда қосымша регрессиялық статистиканың берілу реті көрсетілген.

Жұмыс парағы

Ескертпелер

  • Кез келген түзу сызықты көлбеу мен у қиылысуы арқылы сипаттауға болады:

    Көлбеу (m):
    Көбінесе m түрінде жазылатын сызықтың көлбеуін табу үшін сызықтағы екі нүкте алынады: (x1,y1) және (x2,y2); көлбеу мынаған тең: (y2 - y1)/(x2 - x1).

    Y қиылысуы (b):
    Көбінесе b түрінде жазылатын сызықтың y қиылысуы – сызықтың у білігімен қиылысатын нүктесіндегі у мәні.

    y = mx + b түзу сызықтың теңдеуі болып табылады. m және b мәндерін белгілі болса, сол теңдеуге у немесе х мәнін қойып, сызықтағы кез келген нүктені есептеуге болады. Сондай-ақ, TREND функциясын пайдалануға болады.

  • Егер тек қана бір тәуелсіз х айнымалы шамасы болса, келесі өрнектерді қолданып, көлбеу және у қиылысу мәндерін тікелей анықтауға болады:

    Көлбеу:
    =INDEX(LINEST(белгілі_у_мәндері,белгілі_x_мәндері),1)

    Y қиылысуы:
    =INDEX(LINEST(белгілі_у_мәндері,белгілі_x_мәндері),2)

  • LINESTфункциясы арқылы есептелген сызықтың дәлдігі деректердегі шашырау дәрежесіне тәуелді болады. Деректер неғұрлым сызықтық болса, LINEST функциясындағы үлгі соғұрлым дәл болады. Деректер үшін ең жақсы қиыстыруды анықтау үшін LINESTфункциясы "ең кіші квадраттар" әдісін пайдаланады. Тек қана бір тәуелсіз х айнымалы шамасы болғанда, m және b мәндерін есептеу келесі өрнектерге негізделеді:

    Теңдеу

    Теңдеу

    ал мұнда, x және y мәндері – таңдамалы орташа мәндер, яғни x = AVERAGE(белгілі_х_мәндері) және y = AVERAGE(белгілі_y_мәндері).

  • LINEST және LOGEST сызық пен қисық сызық жуықтау функциялары деректерге қиыстырылатын ең жақсы түзу сызықты немесе экспоненциалды қисық сызықты есептей алады. Дегенмен, екі нәтиженің қайсысы деректерге дәл қиыстырылатынын таңдау керек. Түзу сызық үшін TREND(белгілі_у_мәндері,белгілі_x_мәндері) немесе экспоненциалдық қисық сызық үшін GROWTH(белгілі_у_мәндері,белгілі_x_мәндері) функциясын есептеуге болады. Бұл функциялар х_жаңа_мәндері аргументінсіз нақты деректер нүктесі бойынша, сол сызық немесе қисық сызық бойынша болжанған у мәндерінің жиымын береді. Одан кейін болжанған мәндер нақты мәндермен салыстырылады. Көрнекі түрде салыстыру үшін олардың диаграммасын сызуға болады.

  • Регрессиялық талдауда Excel бағдарламасы әрбір нүкте үшін сол нүктеге есептелетін у мәні мен оның нақты у мәні арасындағы айырма квадратын есептейді. Осы айырма квадраттарының қосындысы квадраттардың қалдық қосындысы (ssresid) деп аталады. Одан кейін Excel бағдарламасы квадраттардың жалпы қосындысын (sstotal) есептейді. Егер тұрақты_мән аргументі = TRUE болса немесе есепке алынбаса, квадраттардың жалпы қосындысы нақты у мәндері мен у мәндерінің орташа мәні арасындағы айырма квадраттарының қосындысына тең болады. Егер тұрақты_мән аргументі = FALSE болса, квадраттардың жалпы қосындысы нақты у мәндерінің квадраттарының қосындысына тең болады (әрбір жеке у мәнінен орташа у мәнін алмай). Сонда квадраттардың регрессиялық қосындысы (ssreg) былай табылуы мүмкін: ssreg = sstotal - ssresid. Квадраттардың жалпы қосындысымен салыстырғанда, квадраттардың қалдық қосындысы неғұрлым кіші болса, r2 анықтама коэффициентінің мәні соғұрлым үлкен болады. Ол регрессиялық талдаудан шығатын формуланың айнымалы шамалардың арасындағы байланысты қалай түсіндіретінін көрсетеді. r2 мәні ssreg/sstotal мәніне тең болады.

  • Кейбір жағдайларда, басқа Х бағандары бар болғанда, бір немесе бірнеше X бағандарында (Y пен X бағандарда делік) қосымша болжамдық мән болмауы мүмкін. Басқаша айтқанда, бір немесе бірнеше Х бағандарын жою бірдей дәл болатын болжанған Y мәндерін беруі мүмкін. Мұндай жағдайда бұл артық Х бағандарын регрессиялық үлгіге қоспау керек. Бұл құбылыс түзу сызықта орналасу деп аталады, себебі кез келген артық Х бағанын артық емес Х бағандарының еселік сандарының қосындысы түрінде көрсетуге болады. LINESTфункциясы түзу сызықта орналасудың бар-жоқтығын тексереді және анықтаған кезде, кез келген артық Х бағандарын регрессиялық үлгіден жояды. Нөлге (0) тең se мәндеріне қоса, жойылған Х бағандары LINEST нәтижесінде 0 коэффициентіне ие деп танылады. Егер бір немесе бірнеше бағандар артық бағандар ретінде жойылған болса, бұл df мәніне әсер етеді, себебі df мәні болжамдық мақсаттарға нақты пайдаланылатын Х бағандарының санына байланысты болады. df мәнін есептеу туралы қосымша мәліметтерді төмендегі 4-мысалдан қараңыз. Егер df мәні артық Х бағандарын жойылғандықтан өзгерген болса, sey және F мәндері де өзгереді. Түзу сызықта орналасу құбылысы іс жүзінде салыстырмалы түрде сирек кездесуі тиіс. Дегенмен, бұл құбылыс мынадай бір жағдайда кездесуі мүмкін: егер кейбір Х бағандарында тәжірибедегі нысанның нақты бір топтың мүшесі болу-болмауын көрсететін 0 және 1 көрсеткіштері ғана болса. Егер тұрақты_мән = TRUE болса немесе есепке алынбаса, LINEST функциясы қиылысуды үлгілеу үшін барлық 1 мәндерінен тұратын қосымша Х бағанын кірістіреді. Егер әрбір нысан үшін егер ер болса - 1, әйтпесе - 0 болатын баған болса, және егер әйел болса, әрбір нысан үшін – 1, әйтпесе, нысан – 0 болатын баған болса, осы соңғы баған артық болады, себебі ондағы жазбаларды \ldblquote ерлер көрсеткіші\rdblquote бағанындағы жазбаны LINEST функциясы қосқан барлық 1 мәндерінен тұратын қосымша бағандағы жазбадан алу арқылы анықтауға болады.

  • Егер үлгіден түзу сызықта орналасуға байланысты Х бағандары жойылмаса, df мәні былай есептеледі: егер белгілі_x_мәндері бағандарының саны k болса және тұрақты_мән = TRUE болса немесе есепке алынбаса, онда df = n – k – 1 болады. Егер тұрақты_мән = FALSE болса, df = n - k болады. Екі жағдайда да, түзу сызықта орналасуға байланысты жойылған әрбір X бағаны df мәнін 1-ге арттырады.

  • Массивтерді беретін формулалар массив формулалары түрінде енгізілуге тиіс.

    Ескерту : Excel Online бағдарламасында массив формулаларын жасау мүмкін емес.

  • Дәлел ретінде белгілі_x_мәндері сияқты жиым тұрақты мәнін енгізген кезде, бір жолда қамтылған мәндерді бөлу үшін үтірлер, ал жолдарды бөлу үшін нүктелі үтірлер қолданылады. Аймақтық параметрлерге байланысты бөлгіш таңбалар басқа болуы мүмкін.

  • Егер теңдеуді шешуге пайдаланылған у мәндерінің ауқымынан шығып кетсе, регрессиялық теңдеу арқылы болжанған у мәндері дұрыс емес болуы мүмкін екендігін есте ұстаған жөн.

  • LINEST функциясында пайдаланылатын негізгі алгоритм SLOPE және INTERCEPT функцияларында пайдаланылатын негізгі алгоритмнен өзгеше. Деректер анықталмағанда және олар бір сызықта болса, бұл алгоритмдердің арасындағы айырмашылық әр түрлі нәтижелерге әкеле алады. Мысалы, егер белгілі_у_мәндері аргументінің деректер нүктелері 0 болса және белгілі_x_мәндері аргументінің деректер нүктелері 1 болса:

    • LINEST функциясы 0 мәнін береді. LINEST функциясының алгоритмі бір сызықтың үстіндегі деректер үшін сәйкес нәтижелерді береді, ал мына жағдайда кемінде бір жауап табуға болады.

    • SLOPE және INTERCEPT функциялары алгоритмі #DIV/0! қате мәнін береді. SLOPE және INTERCEPT функцияларының алгоритмі бір ғана жауапты іздеуге арналған, ал мына жағдайда бірнеше жауап болуы мүмкін.

  • LOGEST функциясын басқа регрессия түрлеріне статистиканы есептеу үшін пайдаланумен қатар, LINEST функциясын басқа регрессия түрлерінің ауқымын есептеу үшін пайдалануға болады, ол үшін х және у айнымалы шамаларының функцияларын LINEST функциясына арналған х және у қатары ретінде енгізу керек. Мысалы, келесі формула:

    =LINEST(yмәндері, xмәндері^COLUMN($A:$C))

    форманың үшінші дәрежелік (3-дәрежелі көп мүше) жуықтау дәрежесін есептеу үшін у мәндерінің бір бағаны мен х мәндерінің бір бағаны болғанда жарамды болады:

    y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

    Регрессияның басқа түрлерін есептеу үшін бұл формуланы лайықтауға болады, бірақ кейбір жағдайларда, ол шығатын мәндерді және басқа статистиканы лайықтау қажет болады.

  • LINEST қайтаратын F-тексеруінің мәні FTEST функциясы қайтаратын F-тексеруінің мәнінен ерекшеленеді. LINEST функциясы F санағын қайтарады, ал FTEST функциясы ықтималдықты қайтарады.

Мысалдар

Еңіс және Y қиылысуы

Келесі кестедегі деректер мысалын көшіріңіз және жаңа Excel жұмыс парағының А1 ұяшығына қойыңыз. Формулаларға арналған нәтижелерді көрсету үшін, оларды таңдаңыз, F2 пернесін басыңыз, содан кейін Enter пернесін басыңыз. Егер қажет болса, барлық деректерді көру үшін баған енін лайықтауға болады.

y белгілі

x белгілі

1

0

9

4

5

2

7

3

Нәтиже (жазық)

Нәтиже (y-кесінді)

2

1

Формула (A7:B7 ұяшықтарындағы жиым формуласы )

=LINEST(A2:A5,B2:B5,,FALSE)

Қарапайым сызықтық регрессия

Келесі кестедегі деректер мысалын көшіріңіз және жаңа Excel жұмыс парағының А1 ұяшығына қойыңыз. Формулаларға арналған нәтижелерді көрсету үшін, оларды таңдаңыз, F2 пернесін басыңыз, содан кейін Enter пернесін басыңыз. Егер қажет болса, барлық деректерді көру үшін баған енін лайықтауға болады.

Ай

Сауда айналымы

1

$3 100

2

$4 500

3

$4 400

4

$5 400

5

$7 500

6

$8 100

Формула

Нәтиже

=ҚОСЫНДЫ(LINEST(B1:B6, A1:A6)*{9,1})

11,000 теңге

2 айдан 6-шы айға дейінгі сатуларға негізделген, тоғыз ай ішіндегі сатулардың есебін есептейді.

Көп сызықтық регрессия

Деректер мысалын келесі кестеге көшіріңіз және жаңа Excel жұмыс парағының А1 ұяшығына қойыңыз. Формулаларға арналған нәтижелерді көрсету үшін, оларды таңдаңыз, F2 пернесін басыңыз, содан кейін Enter пернесін басыңыз. Егер қажет болса, барлық деректерді көру үшін баған енін лайықтауға болады.

Ғимараттың ауданы (x1)

Кеңселер саны (x 2)

Кіреберістер саны (x 3)

Пайдалану мерзімі (x 4)

Бағаланған құны (y)

2310

2

2

20

142,000 теңге

2333

2

2

12

144,000 теңге

2356

3

1.5

33

151,000 теңге

2379

3

2

43

150,000 теңге

2402

2

3

53

139,000 теңге

2425

4

2

23

169,000 теңге

2448

2

1.5

99

126,000 теңге

2471

2

2

34

142,900 теңге

2494

3

3

23

163,000 теңге

2517

4

4

55

169,000 теңге

2540

2

3

22

149,000 теңге

-234.2371645

13.26801148

0.996747993

459.7536742

1732393319

Формула (жиым формуласы A14:A18 ішіне енгізілді)

=LINEST(E2:E12,A2:D12,TRUE,TRUE)

F және r2 статистикасын пайдалану

Алдыңғы мысалда, анықтама коэффициенті немесе r2 0,99675-ке тең (LINEST функциясының нәтижесіндегі A17 ұяшығын қараңыз), бұл тәуелсіз айнымалы шамалар мен сату бағасы арасында тығыз байланыстың бар екендігін көрсетеді. Мұндай жоғары r2 мәнімен осы нәтижелердің кездейсоқ шыққанын-шықпағанын анықтау үшін F статистикасын пайдалануға болады.

Бір сәтке іс жүзінде айнымалылардың арасында байланыс жоқ делік, бірақ статистикалық талдау тығыз байланысты көрсетуге әкелетін 11 кеңсе ғимаратының сирек үлгісін береді. Байланыс бар деген қате қорытындыға келу ықтималдығы үшін "Альфа" термині пайдаланылады.

LINEST функциясының нәтижесіндегі F және df мәндерін кездейсоқ кездесетін үлкенірек F мәнінің ықтималдығын бағалау үшін пайдалануға болады. F мәнін жарияланған F-үлестірім кестелеріндегі қауіпті мәндермен салыстыруға болады немесе кездейсоқ кездесетін үлкенірек F мәнінің ықтималдығын есептеу үшін Excel бағдарламасындағы FDIST функциясын пайдалануға болады. Сәйкес F үлестірімінде v1 және v2 еркіндік дәрежелері болады. Егер n деректер нүктелерінің саны болса және тұрақты_мән = TRUE болса немесе есепке алынбаса, онда v1 = n – df – 1 және v2 = df болады. (Егер тұрақты_мән = FALSE болса, онда v1 = n – df және v2 = df болады.) Синтаксисі FDIST (F,v1,v2) болған FDISTфункциясы  кездейсоқ кездесетін үлкенірек F мәнінің ықтималдығын береді. Бұл мысалда, df = 6 (B18 ұяшығы) және F = 459,753674 (A18 ұяшығы).

Альфа мәні 0,05, v1 = 11 – 6 – 1 = 4 және v2 = 6 болса, F мәнінің қауіпті деңгейі 4,53 болады. F = 459,753674 мәні 4,53 санына қарағанда әлдеқайда жоғары болғандықтан, осы F мәнінің кездейсоқ кездесу ықтималдығы өте аз. (Альфа = 0,05 болғанда, белгілі_у_мәндері және белгілі_x_мәндері арасында байланыс жоқ деген жорамалды F мәні 4,53 қауіпті деңгейінен асқанда алып тастау керек). Excel бағдарламасындағы FDIST функциясын пайдаланып, осы F мәнінің кездейсоқ кездесу ықтималдығын алуға болады. Мысалы, FDIST(459,753674, 4, 6) = 1,37E-7 өте аз ықтималдық болып табылады. Кестеден F мәнінің қауіпті деңгейін табу арқылы немесе FDIST функциясын пайдаланып, осы аудандағы кеңсе ғимараттарының бағаланған құнын болжау үшін регрессиялық теңдеудің пайдалы екендігі туралы қорытындыға келе аласыз. Алдыңғы ежеде есептелген v1 және v2 дұрыс мәндерін пайдаланудың маңызды екендігін есте ұстаған жөн.

5-шы мысал – t-Статистикасын есептеу

3-мысалдағы кеңсе ғимаратының бағаланған құнын есептегенде басқа жорамалды тексеру шарты әрбір көлбеу коэффициентінің тиімділігін анықтайды. Мысалы, статистикалық маңыздылық үшін пайдалану коэффициентін тексеру үшін -234,24 санын (пайдалану көлбеу коэффициенті) 13,268 санына (А15 ұяшығындағы пайдалану коэффициенттерінің есептелген стандартты қатесі) бөлу керек. Келесі t-бақыланатын мән болады:

t m4 ÷ se4 = =-234.24 ÷ 13.268 =-17.7

Егер t мәнінің абсолютті шамасы айтарлықтай үлкен болса, 3-мысалдағы кеңсе ғимаратының бағаланған құнын есептеу үшін көлбеу коэффициенті пайдалы деген қорытынды жасауға болады. Төмендегі кестеде 4 t-бақыланатын мәндердің абсолютті мәндері көрсетілген.

Егер статистикалық нұсқаулықтағы кестені қарасаңыз, t-қауіпті мән, екі жақты, еркіндік дәрежесі 6 және Альфа = 0,05 2,447 болатынын көруге болады. Бұл қауіпті мәнді Excel бағдарламасындағы TINV функциясын пайдаланып та табуға болады. TINV(0,05,6) = 2,447. t абсолютті мәні (17,7) 2,447 санынан үлкен болғандықтан, кеңсе ғимаратының бағаланған құнын есептеу кезінде пайдалану мәні маңызды айнымалы мән болып табылады. Әрбір басқа тәуелсіз айнымалыларды статистикалық маңыздылыққа осылай тексеруге болады. Мыналар әрбір тәуелсіз айнымалы шама үшін t-бақыланатын мәндер болып табылады.

Айнымалы

t-бақыланатын мән

Ғимараттың ауданы

5,1

Кеңселер саны

31,3

Кіреберістер саны

4,8

Пайдалану мерзімі

17,7

Бұл мәндердің барлығында 2,447-ден үлкен абсолютті шама бар; сондықтан, регрессиялық теңдеуде пайдаланылатын барлық айнымалылар осы аудандағы кеңсе ғимараттарының бағаланған құнын болжау үшін пайдалы болып табылады.

Дағдыларды жетілдіру
Оқыту курсымен танысыңыз
Жаңа мүмкіндіктерге бірінші болып қол жеткізу
Office Insider бағдарламасына қосылу

Осы ақпарат пайдалы болды ма?

Пікіріңіз үшін рақмет!

Пікіріңізге рақмет! Сізді Office қолдау көрсету қызметіндегі агенттердің бірімен байланыстырған жөн болуы мүмкін.

×