RGP (Funktion)

In diesem Artikel werden die Formelsyntax und die Verwendung der Funktion RGP in Microsoft Excel beschrieben. Verknüpfungen zu weiteren Informationen über das Erstellen von Diagrammen und Ausführen einer Regressionsanalyse finden Sie im Abschnitt Siehe auch.

Beschreibung

Die Funktion RGP berechnet die Statistik für eine Linie nach der Methode der kleinsten Quadrate, um eine gerade Linie zu berechnen, die am besten an die Daten angepasst ist, und gibt dann eine Matrix zurück, die die Linie beschreibt. Sie können RGP auch mit anderen Funktionen kombinieren, um die Statistiken für andere Modelltypen zu berechnen, die lineare unbekannte Parameter aufweisen, einschließlich polynomischer, logarithmischer und exponentieller Reihen sowie Potenzen. Da diese Funktion eine Matrix von Werten zurückgibt, muss die Formel als Matrixformel eingegeben werden. Anweisungen dazu sind nach den Beispielen in diesem Artikel angegeben.

Die Gleichung einer solchen Geraden lautet:

y = mx + b

– oder –

y = m1x1 + m2x2 + ... + b

Wenn es mehrere Bereiche von x-Werten gibt, wobei die abhängigen y-Werte eine Funktion der unabhängigen x-Werte sind. Die m-Werte sind Koeffizienten, die jedem x-Wert entsprechen, und b ist ein konstanter Wert. Beachten Sie, dass y, x und m Vektoren sein können. Das Array, das die Funktion " Zeile " zurückgibt, ist {MN, MN-1,..., M1, b}. Zeiler kann auch zusätzliche Regressionsstatistiken zurückgeben.

Syntax

RGP(Y_Werte;[X_Werte];[Konstante];[Stats])

Die Syntax der Funktion RGP weist die folgenden Argumente auf:

Syntax

  • Y_Werte    Erforderlich. Die y-Werte, die Ihnen bereits aus der Beziehung y = mx + b bekannt sind.

    • Besteht der Bereich der Y_Werte aus nur einer Spalte, wird jede Spalte für X_Werte als eigenständige Variable interpretiert.

    • Besteht der Bereich der Y_Werte aus nur einer Zeile, wird jede Zeile für X_Werte als eigenständige Variable interpretiert.

  • X_Werte    Optional. Die x-Werte, die Ihnen möglicherweise bereits aus der Beziehung y = mx + b bekannt sind.

    • Der Bereich der X_Werte kann eine oder mehrere Variablengruppen umfassen. Wird nur eine Variable verwendet, können Y_Werte und X_Werte Bereiche beliebiger Form sein, solange sie dieselben Dimensionen haben. Werden mehrere Variablen verwendet, muss Y_Werte ein Vektor sein (das heißt ein Bereich, der aus nur einer Zeile oder nur einer Spalte besteht).

    • Fehlt die Angabe X_Werte, wird an ihrer Stelle die Matrix {1.2.3...} angenommen, die genauso viele Elemente wie Y_Werte enthält.

  • Konstante    Optional. Ein Wahrheitswert, der angibt, ob die Konstante b den Wert 0 annehmen soll.

    • Ist Konstante mit WAHR belegt oder nicht angegeben, wird b normal berechnet.

    • Ist Konstante mit FALSCH belegt, wird b gleich 0 festgelegt, und die m-Werte werden so angepasst, dass sie zu der Beziehung y = mx passen.

  • Stats    Optional. Ein Wahrheitswert, der angibt, ob zusätzliche Regressionskenngrößen zurückgegeben werden sollen.

    • Ist Stats mit WAHR belegt, gibt RGP weitere Regressionskenngrößen zurück, sodass eine Matrix in der Form {mn.mn-1. ... .m1.b;sen.sen-1. ... .se1.seb;r2.sey;F.df;ssreg.ssresid} zurückgegeben wird.

    • Ist Stats mit FALSCH belegt oder nicht angegeben, gibt RGP nur die m-Koeffizienten sowie die Konstante b zurück.

      Die folgenden Regressionskenngrößen (-statistiken) können zusätzlich ermittelt werden:

Kenngröße (Statistik)

Beschreibung

se1;se2;...;sen

Sind die Standardfehler der Koeffizienten m1;m2;...;mn.

seb

Der Standardfehler der Konstanten b (seb = #NV, wenn Konstante mit FALSCH belegt ist).

r2

Das Bestimmtheitsmaß. Vergleicht die erwarteten mit den tatsächlichen y-Werten und kann Werte von 0 bis 1 annehmen. Besitzt es den Wert 1, besteht für die Stichprobe eine vollkommene Korrelation: ein erwarteter y-Wert und der entsprechende tatsächliche y-Wert unterscheiden sich nicht. Im anderen Extremfall, wenn das Bestimmtheitsmaß 0 ist, ist die Regressionsgerade nicht dazu geeignet, einen y-Wert vorherzusagen. Informationen darüber, wie r2 berechnet wird, finden Sie unten unter "Hinweise".

sey

Der Standardfehler des Schätzwerts y (Prognosewert).

F

Die F-Statistik (oder der berechnete F-Wert). Anhand der F-Statistik können Sie entscheiden, ob die zwischen der abhängigen und der unabhängigen Variablen beobachtete Beziehung zufällig ist oder nicht.

df

Der Freiheitsgrad. Mit diesem Freiheitsgrad können Sie den jeweiligen kritischen F-Wert (Quantil F) aus einer entsprechenden statistischen Tabelle entnehmen. Vergleichen Sie den jeweils auf diese Weise ermittelten kritischen F-Wert mit der von RGP zurückgegebenen F-Statistik, um das Konfidenzniveau Ihres Modells zu beurteilen. Informationen zur Berechnung von df finden Sie unter "Hinweise". In Beispiel 4 ist die Verwendung von F und df dargestellt.

ssreg

Die Regressions-Quadratsumme.

ssresid

Die Residual-Quadratsumme (Summe der Abweichungsquadrate). Weitere Informationen zur Berechnung von ssreg und ssresid finden Sie unter "Hinweise".

Die folgende Abbildung zeigt, in welcher Reihenfolge die zusätzlichen Regressionskenngrößen zurückgegeben werden.

Arbeitsblatt

Hinweise

  • Jede Gerade lässt sich durch ihre Steigung und die jeweilige Anfangsordinate (y-Achsenabschnitt) beschreiben:

    Steigung (m):
    Die Steigung einer Geraden (häufig als m bezeichnet) lässt sich aus zwei Punkten der Geraden, (x1,y1) und (x2,y2), gemäß der Beziehung (y2 - y1)/(x2 - x1) berechnen.

    y-Achsenabschnitt (b):
    Der y-Achsenabschnitt (häufig als b bezeichnet) ist der y-Wert des Punkts, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.

    Eine Gerade wird durch die Gleichung y = mx + b beschrieben. Sobald Ihnen die Werte von m und b bekannt sind, können Sie alle Punkte der Geraden berechnen, indem Sie den jeweiligen y- oder x-Wert in die Gleichung einsetzen. Sie können dafür auch die TREND-Funktion verwenden.

  • Wenn nur eine unabhängige x-Variable vorliegt, können Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt direkt mithilfe der folgenden Formeln ermitteln:

    Steigung:
    =INDEX(RGP(Y_Werte;X_Werte);1)

    y-Achsenabschnitt:
    =INDEX(RGP(Y_Werte;X_Werte);2)

  • Die Genauigkeit einer von der RGP-Funktion berechneten Geraden hängt davon ab, wie sehr die betreffenden Daten gestreut sind. Je linearer sich die Daten verhalten, desto genauer ist das von RGP ermittelte Modell. RGP verwendet die Methode der kleinsten Quadrate, um die für die jeweiligen Daten beste Anpassung zu ermitteln. Wenn nur eine unabhängige x-Variable vorliegt, werden m und b entsprechend der folgenden Formeln berechnet:

    Formel

    Formel

    wobei x und y Beispielmöglichkeiten darstellen, d. h. x = MITTELWERT(X_Werte) und y = MITTELWERT(Y_Werte).

  • Die Regressionsfunktionen RGP (lineare Regression) und RKP (exponentielle Regression) können die Koeffizienten der an die von Ihnen bereitgestellten Daten optimal angepassten Geraden beziehungsweise Exponentialkurve berechnen. Sie müssen dennoch entscheiden, welches der beiden Ergebnisse Ihren Daten eher entspricht. Bei einer Geraden können Sie TREND(Y_Werte;X_Werte) und bei einer Exponentialkurve VARIATION(Y_Werte;X_Werte) berechnen. Werden diese Funktionen ohne das Argument Neue_x_Werte verwendet, geben sie eine Matrix mit y-Werten zurück, die an den x-Werten Ihrer tatsächlichen Datenpunkte als Vorhersagewerte auf der Geraden oder Exponentialkurve liegen. Diese Vorhersagewerte können Sie mit den tatsächlichen Werten vergleichen. Um eine bessere Vergleichsmöglichkeit zu haben, kann es sinnvoll sein, die Werte in Diagrammen darzustellen.

  • Bei der Regressionsanalyse berechnet Excel für jeden Punkt das Quadrat der Differenz zwischen dem für diesen Punkt erwarteten y-Wert und dem entsprechenden tatsächlichen y-Wert. Die Summe dieser quadrierten Differenzen wird als Residual-Quadratsumme (ssresid) bezeichnet. Anschließend berechnet Excel die Gesamtsumme der Abweichungsquadrate (sstotal). Ist das Argument Konstante mit WAHR belegt oder nicht angegeben, entspricht die Gesamtsumme der Abweichungsquadrate der Summe der quadratischen Differenzen zwischen den tatsächlichen y-Werten und dem Mittelwert der y-Werte. Wenn das Argument Konstante mit FALSCH belegt ist, entspricht die Gesamtsumme der Abweichungsquadrate den Quadraten der tatsächlichen y-Werte (ohne Subtraktion der Mittelwerte aller y-Werte von jedem einzelnen y-Wert). Anschließend kann die Regressions-Quadratsumme (ssreg) anhand der folgenden Gleichung berechnet werden: ssreg = sstotal - ssresid. Je kleiner die Residual-Quadratsumme im Vergleich zur Gesamtsumme der Abweichungsquadrate ist, desto größer ist der Wert des Bestimmtheitsmaßes (r2), das angibt, wie gut die aus der Regressionsanalyse resultierende Gleichung die zwischen den Variablen bestehende Beziehung beschreibt. Der Wert r2 ist gleich ssreg/sstotal.

  • In einigen Fällen kann eine oder mehrere der x-Spalten (davon ausgehen, dass sich die Spalten "Y" und "x" befinden) keinen zusätzlichen vorhersagbaren Wert in Anwesenheit der anderen x-Spalten aufweisen. Mit anderen Worten kann das Ausschließen einer oder mehrerer X-Spalten zu prognostizierten Y-Werten führen, die ebenfalls exakt sind. In diesem Fall sollten diese redundanten X-Spalten aus dem Regressionsmodell ausgelassen werden. Dieses Phänomen wird als "Kollinearität" bezeichnet, da eine redundante x-Spalte als Summe von Vielfachen der nicht redundanten x-Spalten ausgedrückt werden kann. Die Funktion Zeilen Weise überprüft, ob Kollinearität, und entfernt alle redundanten X-Spalten aus dem Regressionsmodell, wenn Sie identifiziert werden. Entfernte X-Spalten können in der Zeile am Ausgang als 0-Koeffizienten zusätzlich zu 0 SE-Werten erkannt werden. Wenn eine oder mehrere Spalten als redundant entfernt werden, ist DF davon betroffen, da DF von der Anzahl der X-Spalten abhängt, die tatsächlich für vorhersagbare Zwecke verwendet werden. Einzelheiten zur Berechnung von DF finden Sie in Beispiel 4. Wenn DF geändert wird, weil redundante X-Spalten entfernt werden, sind auch Werte von sey und F betroffen. Kollinearität sollte in der Praxis relativ selten sein. In einem Fall, in dem es wahrscheinlicher ist, ist es jedoch so, wenn einige X-Spalten nur 0 und 1 Werte enthalten, die anzeigen, ob ein Subjekt in einem Experiment ein Mitglied einer bestimmten Gruppe ist oder nicht. Wenn const = true oder ausgelassen wird, fügt die Funktion Zeile am effektiv eine zusätzliche X-Spalte aller 1 Werte ein, um den Achsenabschnitt zu modellieren. Wenn Sie eine Spalte mit einer 1 für jeden Betreff, wenn männlich, oder 0 haben, wenn dies nicht der Fall ist, und Sie auch eine Spalte mit einer 1 für jeden Betreff haben, wenn weiblich, oder 0, wenn dies nicht der Fall ist, ist diese letzte Spalte redundant, da die Einträge in der Spalte durch Subtrahieren des Eintrags im "männlichen Indikator" abgerufen werden können. Spalte aus dem Eintrag in der Spalte "Additional" aller 1 Werte, die von der Funktion " Zeile " hinzugefügt werden.

  • Der Wert "df" wird folgendermaßen berechnet, wenn keine X-Spalten aufgrund von Kollinearität aus dem Modell entfernt werden: Wenn k Spalten für X_Werte vorhanden sind und Konstante mit WAHR belegt oder nicht angegeben ist, gilt df = n – k – 1. Wenn Konstante mit FALSCH belegt ist, gilt df = n - k. In beiden Fällen wird der Wert "df" um die Anzahl der aufgrund von Kollinearität entfernten Spalten erhöht.

  • Formeln, die als Ergebnis eine Matrix zurückgeben, müssen als Matrixformeln eingegeben werden.

    Hinweis: In Excel Online können keine Matrixformeln erstellt werden.

  • Wird eine Matrixkonstante (wie zum Beispiel X_Werte) als Argument eingegeben, müssen Sie Punkte verwenden, um Werte innerhalb derselben Zeile zu trennen, und Semikola, um die Zeilen zu trennen. Die Trennzeichen können je nach den Ländereinstellungen unterschiedlich sein.

  • Beachten Sie, dass mithilfe einer Regressionsgleichung vorhergesagte y-Werte sind möglicherweise ungültig, wenn diese außerhalb des Bereiches der y-Werte liegen, die Sie zur Ermittlung der Gleichung verwendet haben.

  • Der zugrunde liegende Algorithmus in der RGP-Funktion unterscheidet sich vom zugrunde liegenden Algorithmus der Funktionen STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT. Bei unbestimmten und kollinearen Daten kann der Unterschied zwischen diesen Algorithmen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Wenn beispielsweise die Datenpunkte des Arguments Y_Werte den Wert 0 und die Datenpunkte des Arguments X_Werte den Wert 1 aufweisen, geschieht Folgendes:

    • RGP gibt einen Wert 0 zurück. Der Algorithmus der Funktion RGP soll vernünftige Ergebnisse für kollineare Daten zurückgeben, und in diesem Fall wird mindestens ein Ergebnis ermittelt.

    • STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT geben den Fehlerwert #DIV/0! zurück. Der Algorithmus der Funktionen STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT soll ausschließlich ein einziges Ergebnis ermitteln, und in diesem Fall sind mehrere Ergebnisse möglich.

  • Neben der Verwendung von RKP zum Berechnen von Statistiken für andere Regressionstypen können Sie RGP zum Berechnen eines Bereichs von Regressionstypen verwenden, indem Sie Funktionen der x- und y-Variablen als x- und y-Reihen für RGP eingeben. Beispielsweise wird die folgende Formel:

    =RGP(Y_Werte; X_Werte^SPALTE($A:$C))

    verwendet, wenn Sie über eine Spalte von y-Werten und eine Spalte von x-Werte verfügen, um die kubische (Polynom der Ordnung 3) Annäherung in folgender Form zu berechnen:

    y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

    Sie können diese Formel anpassen, um andere Regressionstypen zu berechnen. In einigen Fällen ist dafür die Anpassung der Ausgabewerte und anderer Statistiken erforderlich.

  • Der f-Test-Wert, der von der Funktion "Zeile" zurückgegeben wird, weicht vom f-Test-Wert ab, der von der FTest-Funktionzurückgegeben wird. Zeiler gibt die F-Statistik zurück, während FTest die Wahrscheinlichkeit zurückgibt.

Beispiele

Beispiel 1: Steigung und y-Achsenabschnitt

Kopieren Sie die Beispieldaten in der folgenden Tabelle, und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse der Formeln anzuzeigen, markieren Sie sie, drücken Sie F2 und dann die EINGABETASTE. Im Bedarfsfall können Sie die Breite der Spalten anpassen, damit alle Daten angezeigt werden.

Y-Wert

x-Wert

1

0

9

4

5

2

7

3

Ergebnis (Steigung)

Ergebnis (y-Achsenabschnitt)

2

1

Formel (Matrixformel in Zellen A7:B7)

=RGP(A2:A5;B2:B5;;FALSCH)

Beispiel 2: Einfache lineare Regression

Kopieren Sie die Beispieldaten in der folgenden Tabelle, und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse der Formeln anzuzeigen, markieren Sie sie, drücken Sie F2 und dann die EINGABETASTE. Im Bedarfsfall können Sie die Breite der Spalten anpassen, damit alle Daten angezeigt werden.

Monat

Umsatz

1

3.100 €

2

4.500 €

3

4.400 €

4

5.400 €

5

7.500 €

6

8.100 €

Formel

Ergebnis

=SUMME(RGP(B1:B6;A1:A6)*{9.1})

11.000 €

Berechnet den geschätzten Umsatz für den neunten Monat auf Grundlage der Umsätze in den Monaten 1 bis 6.

Beispiel 3: Multiple lineare Regression

Kopieren Sie die Beispieldaten in der folgenden Tabelle, und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse der Formeln anzuzeigen, markieren Sie sie, drücken Sie F2 und dann die EINGABETASTE. Im Bedarfsfall können Sie die Breite der Spalten anpassen, damit alle Daten angezeigt werden.

Grundfläche (x1)

Büroräume (x2)

Eingänge (x3)

Alter (x4)

Schätzwert (y)

2310

2

2

20

142.000 €

2333

2

2

12

144.000 €

2356

3

1,5

33

151.000 €

2379

3

2

43

150.000 €

2402

2

3

53

139.000 €

2425

4

2

23

169.000 €

2448

2

1,5

99

126.000 €

2471

2

2

34

142.900 €

2494

3

3

23

163.000 €

2517

4

4

55

169.000 €

2540

2

3

22

149.000 €

-234,2371645

13,26801148

0,996747993

459,7536742

1732393319

Formel (in A14:A18 eingegebene Matrixformel)

=RGP(E2:E12;A2:D12;WAHR;WAHR)

Beispiel 4: Verwendung der F- und r2-Statistiken

Im vorhergehenden Beispiel ist der Koeffizient der Bestimmung (R2) 0,99675 (siehe Zelle A17 in der Ausgabe für die Zeile), was auf eine starke Beziehung zwischen den unabhängigen Variablen und dem Verkaufspreis hindeutet. Sie können die F-Statistik verwenden, um zu ermitteln, ob diese Ergebnisse mit einem so großen R2-Wert zufällig aufgetreten sind.

Stellen Sie dazu die Hypothese auf, dass zwischen den Variablen eigentlich kein Zusammenhang besteht, sondern dass Sie nur zufällig eine Stichprobe von 11 Bürogebäuden erhoben haben, für die die statistische Analyse einen starken Zusammenhang anzeigt. Um die Wahrscheinlichkeit zu beschreiben, mit der irrtümlich ein Zusammenhang ermittelt wird, wird die Irrtumswahrscheinlichkeit "Alpha" verwendet.

Die f-und DF-Werte in der Ausgabe der Funktion " Zeile " können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein höherer f-Wert zufällig eintritt. F kann mit kritischen Werten in veröffentlichten f-Verteilungstabellen verglichen werden, oder die Funktion FVERT in Excel kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines größeren F-Werts zu berechnen, der zufällig eintritt. Die entsprechende F-Verteilung hat v1-und v2-Freiheitsgrade. Ist n die Anzahl der Datenpunkte und const = true oder ausgelassen, dann v1 = n – df – 1 und v2 = df. (Wenn const = falsch, dann v1 = n – DF und v2 = df.) Die FVERT -Funktion – mit der Syntax FVERT(F, v1, v2) – gibt die Wahrscheinlichkeit eines höheren F-Werts zurück, der zufällig eintritt. In diesem Beispiel ist DF = 6 (Zelle B18) und F = 459,753674 (Zelle 18.00).

Unter der Voraussetzung, dass ein Alphawert von 0,05, v1 = 11 – 6 – 1 = 4 und v2 = 6 lautet, ist die kritische Ebene von F 4,53. Da f = 459,753674 deutlich höher als 4,53 ist, ist es äußerst unwahrscheinlich, dass ein f-Wert dieser Höhe zufällig aufgetreten ist. (Bei Alpha = 0,05 wird die Hypothese, dass es keine Beziehung zwischen known_y's und known_x's gibt, zurückgewiesen, wenn F die kritische Ebene 4,53 überschreitet.) Sie können die FVERT -Funktion in Excel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein F-Wert dieser Höhe zufällig aufgetreten ist. Beispiel: FVERT(459,753674; 4; 6) = 1.37 e-7, eine extrem geringe Wahrscheinlichkeit. Sie können schließen, indem Sie entweder die kritische Ebene von F in einer Tabelle oder mithilfe der FVERT -Funktion ermitteln, dass die Regressionsgleichung nützlich ist, um den bewerteten Wert von Office-Gebäuden in diesem Bereich vorherzusagen. Beachten Sie, dass es wichtig ist, die richtigen Werte von v1 und v2 zu verwenden, die im vorherigen Absatz berechnet wurden.

Beispiel 5: Berechnen der t-Statistik

Mithilfe einer anderen Hypothese kann festgestellt werden, ob die einzelnen Steigungskoeffizienten geeignet sind, den Schätzwert eines der in Beispiel 3 aufgeführten Bürogebäude zu berechnen. Um zum Beispiel den Koeffizienten für das Gebäudealter bezüglich der statistischen Wahrscheinlichkeit (Sicherheit) zu prüfen, dividieren Sie –234,24 (Steigungskoeffizient für das Alter) durch 13,268 (der in Zelle 15 stehende Standardfehler des Alterskoeffizienten). Daraus ergibt sich der folgende t-Wert:

t = m4 ÷ se4 = -234,24 ÷ 13,268 = -17,7

Wenn der Absolutwert von t hoch genug ist, kann geschlussfolgert werden, dass der Steigungskoeffizient für die Berechnung des bewerteten Werts eines Bürogebäudes in Beispiel 3 hilfreich ist. In der folgenden Tabelle sind die Absolutwerte der vier berechneten t-Werte dargestellt.

Wenn Sie die entsprechende Tabelle eines Statistikhandbuchs zu Rate ziehen, werden Sie feststellen, dass der kritische t-Wert bei einem zweiseitigen Test mit sechs Freiheitsgraden und Alpha = 0,05 den Wert 2,447 hat. Dieser kritische Wert kann auch mithilfe der TINV-Funktion in Excel ermittelt werden. TINV(0,05.6) = 2,447. Da der Absolutwert von t (17,7) größer als 2,447 ist, ist Alter eine zuverlässige Variable, um den Schätzwert eines Bürogebäudes zu ermitteln. Für alle weiteren unabhängigen Variablen kann die statistische Wahrscheinlichkeit auf dieselbe Weise geprüft werden. Für die anderen unabhängigen Variablen werden die folgenden t-Werte ermittelt:

Variable

Berechneter t-Wert

Grundfläche

5,1

Anzahl der Büros

31,3

Anzahl der Eingänge

4,8

Alter

17,7

Alle Werte haben einen Absolutwert, der größer als 2,447 ist. Daher sind alle Variablen, die in der Regressionsgleichung verwendet werden, geeignet, den Schätzwert eines zum fraglichen Büroviertel gehörenden Bürogebäudes zu bestimmen.

Hinweis:  Diese Seite wurde automatisiert übersetzt und kann Grammatikfehler oder Ungenauigkeiten enthalten. Unser Ziel ist es, Ihnen hilfreiche Inhalte bereitzustellen. Lassen Sie uns bitte wissen, ob diese Informationen hilfreich für Sie waren. Hier finden Sie den englischen Artikel als Referenz.

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